DOC Résumé sur la loi binomiale

Utilisations de la loi binomiale
Calcul d'une probabilité
Cumuls de probabilités
Espérance et variance d'une loi binomiale
Approximation d'une loi binomiale par une loi de Poisson ou une loi normale

On utilise principalement la loi binomiale dans la situation suivante :
on a une répétition de $n$ épreuves indépendantes pour lesquelles on a défini deux issues possibles (l'une appelée "Succès" et l'autre "Echec").
Une telle épreuve est appelée "épreuve de Bernoulli".

On note $p$ la probabilité de succès à chaque épreuve.
Si la variable aléatoire X associe, à chaque répétition de

n

épreuves, le nombre de succès au cours de ces $n$ épreuves, alors X suit la loi binomiale de paramètres

n

et

p

.

Cette loi est notée $ℬ$ $(n; p)$ .

Exemple :

On tire au hasard une pièce dans la production d'une machine. La probabilité qu'elle soit défectueuse est 0.08 .
On appelle

X

la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 11 pièces prélevées avec remise, associe le nombre de pièces acceptables dans cet échantillon.
Quelle est la loi de la variable aléatoire

X

?

Le tirage d'un échantillon de 11 pièces avec remise correspond à une succession de 11 tirages indépendants d'une pièce.
Chaque tirage d'une pièce est une "épreuve".

X

correspond au nombre de pièces acceptables. On appelle donc "succès" le fait qu'une pièce soit acceptable.
La probabilité de succès est donc à chaque épreuve.

X

est alors le nombre de succès au cours de 11 épreuves indépendantes.
Donc

X

suit la loi binomiale $ℬ (11;)$ .

Exercice

Si

X

suit la loi binomiale

ℬ

(n; p)

, alors :

les valeurs possibles de $X$ sont les entiers compris entre 0 et $n$
pour tout entier $k$ compris entre 0 et $n$ , on a : $P (X = k) = (\binom{n}{k}) \times p^{k} \times {(1 - p)}^{n - k}$

ou (autre notation) :

p (X = k) = C_{n}^{k} \times p^{k} \times {(1 - p)}^{n - k} .

Exemple :

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