DOC Résumé sur la loi binomiale

Utilisations de la loi binomiale
Calcul d'une probabilité
Cumuls de probabilités
Espérance et variance d'une loi binomiale
Approximation d'une loi binomiale par une loi de Poisson ou une loi normale

On utilise principalement la loi binomiale dans la situation suivante :
on a une répétition de $n$ épreuves indépendantes pour lesquelles on a défini deux issues possibles (l'une appelée "Succès" et l'autre "Echec").
Une telle épreuve est appelée "épreuve de Bernoulli".

On note $p$ la probabilité de succès à chaque épreuve.
Si la variable aléatoire X associe, à chaque répétition de

n

épreuves, le nombre de succès au cours de ces $n$ épreuves, alors X suit la loi binomiale de paramètres

n

et

p

.

Cette loi est notée $ℬ$ $(n; p)$ .

Exemple :

La probabilité qu'une pièce soit acceptable est 0.96 .
On appelle

X

la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 8 pièces prélevées avec remise, associe le nombre de pièces défectueuses dans cet échantillon.
Quelle est la loi de la variable aléatoire

X

?

Le tirage d'un échantillon de 8 pièces avec remise correspond à une succession de 8 tirages indépendants d'une pièce.
Chaque tirage d'une pièce est une "épreuve".

X

correspond au nombre de pièces défectueuses. On appelle donc "succès" le fait qu'une pièce soit défectueuse.
La probabilité de succès est donc à chaque épreuve.

X

est alors le nombre de succès au cours de 8 épreuves indépendantes.
Donc

X

suit la loi binomiale $ℬ (8;)$ .

Exercice

Si

X

suit la loi binomiale

ℬ

(n; p)

, alors :

les valeurs possibles de $X$ sont les entiers compris entre 0 et $n$
pour tout entier $k$ compris entre 0 et $n$ , on a : $P (X = k) = (\binom{n}{k}) \times p^{k} \times {(1 - p)}^{n - k}$

ou (autre notation) :

p (X = k) = C_{n}^{k} \times p^{k} \times {(1 - p)}^{n - k} .

Exemple :

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